Tuesday, Jan 28, 2025 at 8:50 AM

Hace poco, el 13 de enero de este año (2025), murió uno de los filósofos de las matemáticas más importantes del siglo XX, Paul Benacerraf. A él se le consideró uno de los más importantes rivales del platonismo y, a la vez, se le conoce por su famosa coautoría de una antología de lecturas, Philosophy of Mathematics, que editó junto a otro eminente filósofo, Hilary Putnam.

Allí publicó dos de sus clásicos ensayos:

1. What Numbers Could Not Be
2. Mathematical Truth

Escribió ambos ensayos en parte como una respuesta al platonismo contemporáneo. Ahora bien, vale indicar (para los que no conozcan la disciplina) que el platonismo al que me refiero no es el platonismo antiguo. Ningún platonista hoy (que yo sepa) aboga por la existencia de un ámbito ideal del cual nuestra alma cayó, que recuerda números cuando ve una cantidad de cosas, y cuya alma se purifica para regresar al mundo ideal. Tampoco suelen sostener que existe un demiurgo creador de todo, o que la suprema idea es la supraforma del Bien. En otras palabras, el platonismo contemporáneo tiene muy poco que ver con el platonismo, el platonismo medio o el neoplatonimo antiguos.

El platonismo contemporáneo sí postula la existencia de números como entidades abstractas objetivas, pero no plantea que son creadas por alguna deidad o que son como "espíritus", que andan paseando "por ahí". El platonismo matemático es una vertiente de lo que se conoce como el realismo matemático, es decir, que postula que los números y otros entes matemáticos son entidades reales de alguna manera.

El planteamiento platonista surge fundamentalmente por la interrogante en torno a la verdad de los enunciados matemáticos. Ellos tienen la particularidad de que contienen estos conceptos abstractos, pero que parecen ser necesariamente verdaderos. Si un enunciado es verdad, es porque, de alguna forma, los objetos de los que habla tienen un referente en la realidad. Si decimos que "2 + 2 = 4", y los números fueran ficticios, entonces enunciaríamos algo falso estrictamente hablando. Por lo tanto, para que sea verdadero, los objetos a los que se refieren estas nociones deben existir.

Donde los platonistas diferimos es en relación con la naturaleza de los números y demás entidades abstractas. Un ejemplo del platonismo contemporáneo fue Gottlob Frege, quien veía a los números propiamente como "objetos" (Gegestände) o entidades saturadas. Para él, estos conceptos caen bajo ciertas funciones lógicas (entidades no saturadas). Como lo que buscaba era demostrar que se podía derivar la aritmética de la lógica formal (una forma de logicismo), Frege pensaba que los números eran objetos lógicos, en este caso, extensiones de conceptos. Hoy es bien sabido que el logicismo de Frege no funcionó porque su sistema conllevaba inadvertidamente la caída en una contradicción: si tenemos una clase R de todas las clases que no son elementos de ellas mismas, ¿esa clase R se pertenece a sí misma o no? (Algunos reconocerán inmediatamente la Paradoja de Russell; aunque Ernst Zermelo la descubrió primero y aparte de Bertrand Russell ... debería llamarse la "Paradoja de Zermelo-Russell"). A pesar de que Frege intentó crearle "parches lógicos" a su propuesta, todo su sistema se vino abajo como un castillo de naipes.

Otra propuesta platonista era la de Georg Cantor, quien concibió a los números como reducibles a conjuntos. También Cantor estableció una distinción entre números cardinales y números ordinales. Los números cardinales son aquellos que nos ayudan a responder la pregunta, "¿cuántos hay?". En otras palabras, los números cardinales son los que usamos para contar objetos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc. Para Cantor, dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si contienen la misma cantidad de elementos. Con esta teoría de conjuntos, demostró que podían establecerse tamaños de conjuntos, y logró probar que existían hasta tipos de infinitos que eran mayores que otros; por ejemplo, mediante el método de demostración diagonal, probó que la cantidad de números reales era mayor que la cantidad de números naturales (o, en términos más técnicos, no tenían la misma cardinalidad).

En cambio, los números ordinales son aquellos que establecen un orden entre objetos: primero, segundo, tercero, etc. Con ellos, Cantor pudo probar que se pueden establecer secuencias de elementos más allá de una cantidad finita de ellos (es decir, que pueden haber secuencias infinitas). Sin embargo, la Paradoja de Zermelo-Russell y la Paradoja de Cantor demostraron que algunas de las premisas de lo que hoy se llama "teoría ingenua de conjuntos" la llevarían a un fracaso.

De esta reflexión y de los posteriores avances de la lógica formal y de la teoría de conjuntos, se volvió a preguntar en torno a la naturaleza de los números. Para el platonismo (en todas sus vertientes), los conjuntos, números cardinales, números ordinales, etc. son entidades como libros, mesas, televisores y ordenadores. En particular, si, como dice Frege, los números son extensiones de conceptos (clases), o como decía Cantor, los números podían ser reducibles a conjuntos, entonces son los conjuntos o las clases que establecían la base de la existencia de estos objetos matemáticos.

No obstante, para Benacerraf, los números son lugares que ocupan una estructura; a esta propuesta se le ha llamado "estructuralismo matemático". El número "2" solamente lo define su lugar en relación con el "1" y el "3", entre otros. Y si se quiere reducir los números ordinales a conjuntos, esto le traería problemas a cualquier propuesta platonista.

En "What Numbers Could Not Be", Benacerraf retó esta noción platonista de los números, utilizando la manera en que Zermelo y John von Neumann redujeron los números naturales a conjuntos. Para él, ambas maneras de reducir los números a conjuntos eran consistentes, pero cuando nos elevamos a un sistema que los integrara, se encontraba que la transitividad entre ellos era imposible y, por tanto, no pueden ser identificados. Más adelante, en "Mathematical Truth", Benacerraf reconoció que el platonismo era la propuesta que mejor satisfacía las condiciones materiales de verdad de los enunciados matemáticos, pero postular entidades abstractas presenta el problema de su conocimiento. Ergo, bajo el platonismo, al carecer una epistemología de las matemáticas, no era una propuesta viable.

La razón por la que escribo esta reflexión es que la muerte de Benacerraf me hizo recordar mis clases de filosofía de las matemáticas con mi mentor, el Dr. Guillermo Rosado Haddock, cuando lo criticaba, debido a que el platonismo de teoría de conjuntos no era el único que había. Entre varias propuestas que había, estaba la de Edmund Husserl.

Contrario a Frege, Husserl no proponía un platonismo de entidades saturadas, sino un platonismo estructural. Por ello, lo que quiso decir fue que es la estructura de cualquier hecho o estado de cosas posibles.

Se suele creer por el grueso de la academia que él rechazó el psicologismo por la crítica que le hizo Frege en 1894. Sin embargo, tenemos constancia documental de que ese rechazo ocurrió en 1890 o 1891. Originalmente, la propuesta psicologista de Husserl, sostenía que la aritmética era reducible a los números cardinales (y, por ende, a conjuntos), pero que eran productos psicológicos de estructuras objetivas y objetuales de los hechos del mundo. A partir de los conjuntos, quiso dar cuenta de los números cardinales, de los números ordinales, del todo y de las partes, entre otras nociones. Sin embargo, encontró dificultades en los números que él llamaba "imaginarios". Si los números se definían como colecciones de objetos, entonces el 0 y el 1 debían ser "números imaginarios" (es decir, números que no correspondían con los conjuntos de objetos del mundo), sino supuestos para la conveniencia de la aritmética. Peor sucede con otros números, igualmente "imaginarios" como los decimales, los números negativos, las raíces negativas, etc. Husserl se fijó en que, aunque fueran inventados y no correspondían a las objetualidades del mundo perceptible, tras formular una serie de axiomas, pueden tratarse con la misma objetividad y cientificidad que los números cardinales.

En una carta de finales del invierno de 1890 (lo más probable) o comienzos de 1891 a su mentor, Carl Stumpf, le hizo saber que era imposible reducir toda la aritmética o la matemática formalizada a números cardinales. Por lo tanto, él consideró que fracasó toda su empresa. Asimismo, en algunas obras nos revela que fue la lectura de cuatro filósofos la que le cambió su parecer: Gottfried Wilhelm Leibniz, David Hume, Bernard Bolzano y Hermann Lotze. Frege no es mencionado como un detonante de la crisis de la tesis psicologista husserliana. El Dr. Rosado Haddock, en ensayos recientes, también ha destacado el papel que jugó Bernard Riemann a la hora de rechazar el psicologismo. Según el psicologismo brentaniano, se supone que la geometría correspondiente a la realidad debía ser la tridimensional euclidiana. Sin embargo, como buen matemático que era, Husserl le dijo a su querido maestro que la geometría euclidiana tridimensional no era la única posible, sino una infinidad de espacios matemáticos posibles, y que la forma del epacio del mundo debía determinarse empíricamente.

[Nota: Este último punto es llamativo porque Henri Poincaré lo resaltará en su obra. Posteriormente, Albert Einstein (leyendo a Poincaré) precisamente corroboró esta convicción husserliana a la hora de formular su teoría general de la relatividad].

Cuando Husserl llegó a su teoría oficial de filosofía de las matemáticas, que aparece primero en los "Prolegómenos de la lógica pura" en Investigaciones lógicas y después de manera más desarrollada en Lógica formal y trascendental, él concebía a las entidades matemáticas como estructuras formales de "objetos cualquiera" (es decir, "objetos" en sentido amplio: objetos sensibles, objetos abstractos, objetos imaginarios, objetos imposibles, etc.) Él solía clasificarlos como categorías formales ontológicas o categorías formales objetuales, y podemos incluir entre otras: conjuntos, números cardinales, números ordinales, todo y parte, unidad y pluralidad, entre otros. Ninguno puede ser reducido al otro. Conjuntos y números cardinales son dos tipos distintos de objetos matemáticos. Los números ordinales y las nociones de todo y parte son nociones distintas.

Asimismo, desde la teoría fenomenológica (y epistemológica) de Husserl, los números son "perceptibles", pero no sensiblemente. Por ejemplo, puedo ver cuatro libros, o cuatro leones, o cuatro sillas. El número (la estructura formal) continúa siendo el mismo, pero varían los componentes materiales (sensibles). Cuando vemos una cantidad o grupo de cosas, nuestro entendimiento puede captar esa forma con base en lo sensiblemente dado. Cuando abstraemos esa estructura (en este caso, el número 4), acto que llamaba "abstracción categorial", podríamos tratar esta estructura en su pureza de todo componente sensible, y, de allí en adelante, vía razonamiento de necesidad y posibilidad, se podían explorar las relaciones entre el cuatro (ya como "objeto" en el sentido amplio del término) y los demás números u otros conceptos matemáticos.

Lo irónico de todo el asunto es que la propuesta husserliana se hizo antes de los ensayos de Benacerraf. Desde esa perspectiva, Husserl siempre fue un reto para el recien fallecido filósofo.

Pero, como se ha degradado a Husserl en la filosofía analítica, casi nadie se ha dado cuenta.

Quiero clarificar que mi intención con esta nota no es quitarle los méritos a Benacerraf. Él formó una parte importantísima del desarrollo de la filosofía de las matemáticas, pero es lo que su deceso trajo a mi memoria.