Curiosidades de la filosofía de las matemáticas

Una de mis especialidades como filósofo de las ciencias es la de dar cuenta de la interacción entre la lógica y las matemáticas, por un lado (ciencias formales), y las ciencias empíricas naturales (física, química, etc.). Cuando me enteré de la publicación del libro Proofs and Research Programmes: Lakatos at 100, me entusiasmé mucho.

Para descargar este libro de acceso abierto, pueden ir a: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-031-88213-5

Lakatos ha sido un referente bien influyente para mí en cuanto a la filosofía de las ciencias, y como popperiano que soy, aprecio mucho su propuesta de programas de investigación. No obstante, no congenio mucho con su visión de las matemáticas. Pretende negar que su conocimiento sea a priori meramente porque algunas conjeturas matemáticas se descubren que son falsas. Como platonista, argumento que esto no es realmente un problema, ya que tenemos conocimiento cierto de muchas verdades matemáticas, pero tenemos un entendimiento falible sobre otros enunciados o conjeturas de este ámbito.

Uno de los ensayos en esta obra es de Philip Kitcher y, dentro del tiempo que tengo, comencé a leerlo. Todavía, a estas alturas, continúa sosteniendo que el conocimiento matemático no es genuinamente a priori, sino que sostiene una visión pragmática aun después de todos estos años. Tengo que confesar que Kitcher, aun con todos sus méritos, es el filósofo de las matemáticas que menos me gusta. Uno de los problemas que tengo con él es que en su obra sobre este campo, The Nature of Mathematical Knowledge, argumenta que hay áreas de las matemáticas que son "claramente" un desperdicio y que no tienen utilidad alguna. En un momento dado, sugiere que debía cortarse todo lo que "evidentemente" no sea útil a nivel científico (cortar "la inmensa grasa matemática", por decirlo así).

Dejemos a un lado mi perspectiva realista (platonista) de las matemáticas, de que lo descubierto como verdadero en matemáticas sí constituye conocimiento, independientemente de su utilidad. Vayamos a casos específicos. Por ejemplo, Giovanni Girolamo Saccheri, un sacerdote jesuita, descubrió por puro accidente (y contra lo que él quería probar) que el llamado "axioma" de las paralelas no era tal. Al contrario, existían geometrías donde dicho "axioma" o, más bien, supuesto de una geometría específica (la euclidiana) era innecesario y podían concebirse espacios donde no era válido. Aun con la prueba contraria a su convicción, en vez de explorar las consecuencias de su descubrimiento, se detuvo ahí mismo diciendo que cualquier geometría que no supusiera el ya-no-tan-axioma sería inútil. "Evidentemente", el espacio en que vivimos era el euclidiano, y la geometría euclidiana era la única que importaba.

Como sabemos, Carl Friedrich Gauss no se quedó contento con este resultado, sino que lo exploró más a fondo. Y uno de sus avances significativos era descubrir que en múltiples espacios, dada una línea X y un punto z no colinear con X, podían pasar varias rectas paralelas. Esto condujo a otros matemáticos, Nikolai Ivanovich Lobachevsky y János Bolyai, a explorar las propiedades de espacios hiperbólicos, que son aquellos en los que este señalamiento de Gauss es el caso. Entre las cualidades descubiertas, se puede establecer que la suma de los ángulos de un triángulo en estos espacios será menor que 180 grados. Por otro lado, encontramos a Bernard Riemann, otro destacado genio de las matemáticas, que estudió las propiedades de los espacios elípticos. En dichos espacios, no hay líneas paralelas, y la suma de los ángulos de un triángulo siempre sería mayor de 180 grados. Y no solo eso, sino que algunos matemáticos empezaron a explorar las propiedades espaciales de más de tres dimensiones, o se hablaba de espacios de n-dimensiones.

Por supuesto, la reacción de muchos filósofos y científicos no se hizo esperar. La geometría no euclidiana y la búsqueda de propiedades de lo que "evidentemente" no existía era esencialmente una "pérdida de tiempo", más o menos equivalente (decían los más "racionalistas" e "ilustrados") al tipo de ocio que llevaba a los escolásticos a formularse la pregunta de cuántos ángeles cabían en la cabeza de un alfiler. Nuestro espacio "claramente" era euclidiano.

Curiosamente, Henri Poincaré sostuvo una posición mucho más moderada de esta convicción. Desde su perspectiva convencionalista de las matemáticas, la geometría euclidiana podía ser explorada válidamente y podría ser potencialmente útil para las ciencias. Ahí, él formuló lo que tal vez sea una de las observaciones más importantes en cuanto al principio epistemológico de la parsimoniosidad de las teorías científicas (la conocida "Navaja de Occam"). Él pudo concebir un escenario en el que una teoría científica podría llegar a ser demasiado complicada si se mantenía la geometría sencilla euclidiana; por otro lado, podía ser posible formular una teoría más simple y parsimoniosa si se adoptaba una geometría más compleja no euclidiana. No obstante esta valiosísima observación, Poincaré era de la opinión de que tal situación sería improbable en las ciencias, ya que "evidentemente" el espacio empírico era "claramente" euclidiano.

Albert Einstein no siguió a Poincaré en ese curso de acción. Al contrario, se inspiró en él, pero no acogió esa convicción. Al formular la teoría especial de la relatividad, y darse cuenta de que la gravitación de una masa o energía no podía influenciar a otra instantáneamente (es decir, más rápido que la velocidad de la luz), entonces tuvo un problema agudo: ¿cómo explicar el fenómeno gravitacional? Haciendo el cuento largo corto, supuso más bien que no existía un espacio y un tiempo aparte. Según observó Minkowski, la teoría especial de la relatividad era consistente con una entidad a la que se podía denominar espacio-tiempo (en la que el tiempo se concebía como una cuarta dimensión). Bajo esta reconceptuación de la gravitación, esta ya no se concebía como una fuerza, sino como el resultado de la desfiguración del espacio-tiempo debido a la presencia de masa o energía.

No obstante, el mismo Einstein nos dice que si adoptaba una geometría euclidiana, la teoría que diera cuenta de este fenómeno sería demasiado complicada. Al contrario, encontró que el espacio-tiempo no euclidiano era la mejor manera de formular, de la manera más sencilla posible, lo que hoy llamamos la "teoría general de la relatividad". Esto fue uno de los más grandes adelantos de la física moderna del siglo XX.

Es bien interesante que aquello que muchos veían como meras excentricidades de matemáticos obsesionados en fantasías sea hoy la base de la física contemporánea.

¡Imagínense qué hubiera pasado si Einstein le hubiera hecho caso a Kitcher!